Tìm m để hàm số có 2 cực trị  hay là thỏa mãn một điều kiện cho trước là 1 trong những dạng bài tập mà chúng ta thường gặp trong phần khảo sát của 1 hàm số. Những bài tập này tuy nằm trong phần câu hỏi phụ của khảo sát hàm số nhưng chúng hết sức đa dạng.

Các dạng bài tập tìm m để hàm số có 2 cực trị

Bài 1: Tìm m để hàm số f(x) = x³ – 3x² +mx – 1 có 2 điểm cực trị. Ta gọi x₁, x₂ là 2 điểm cực trị đó, tìm m sao cho x₁² + x₂² = 3

Giải:

Ta có hàm số đã cho có tập xác định D = R

f’(x) = 3x² – 6x + m

Để hàm số f(x) có 2 cực trị ⇔ f’(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆’ > 0 ⇔ m < 3

Theo đề bài ta có x₁² + x₂² = 3 ⇔ (x₁ + x₂)² – 2 x₁x₂ = 3 ⇔ 4 – 2m / 3 = 3

m = 3/2

Vậy với m = 3/2 thì hàm số f(x) đã cho có 2 điểm cực trị

Bài 2: Cho hàm số y = 4x³ + mx² – 3x tìm m để hàm số có 2 cực trị x₁ và x₂ thỏa mãn x₁ = – 4x₂

Giải:

Ta có tập xác đinh D = R

y’ = 12x² + 2m – 3

Để hàm số có 2 cực trị thì y’ = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt

⇔ ∆’ > 0 Ta có  ∆’  = m² + 36 luôn > 0 với mọi m

Ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình ta có m = ± 9/2

Tìm m để hàm số có 2 cực trị thỏa mãn điều kiện

Bài 3:  cho hàm số y = x³ – 2(m-1)x² + 9x + 2 – m

Tìm m để hàm số có 2 cực trị tại x₁, x₂ thỏa mãi điều kiện |x₁ – x₂| = 2

Giải:

Ta có y’ = 3x² – 4(m – 1)x + 9

Ta thấy y’ là một tam thức bậc 2 nên để hàm số y có 2 cực trị thì y’ = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt

⇔ ∆ = 4(m – 1)² – 27 > 0 ⇔

Theo định lý viet ta có x₁ + x₂ = 4(m – 1) / 3 và x₁x₂ = 3

Theo đề bài ta có

|x₁ – x₂| = 2 ⇔ (x₁ + x₂)² – 4x₁x₂ = 4

⇔ (16(m-1)² / 9) – 12 = 4

⇔ (m – 1)² = 3

⇔ m = -2 và m = 4

Vậy với m = -2 và m = 4 thì hàm số đã cho có 2 cực trị thỏa mãn |x₁ – x₂| = 2

Bài 4: Cho hàm số y = x³ – 3(m + 1)x² + 9x – m (m là tham số thực)

Tìm m để hàm số có 2 cực trị thỏa mãn |x₁ – x₂| ≤ 2

Giải:

Ta có y’ = 3x² – 6(m + 1)x + 9

Để hàm số đã cho có 2 cực trị thì phương trình y’ = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂

v ∆’ = (m + 1)² – 3 > 0 ⇔

 (*)

Theo định lý viet thì ta có: x₁ + x₂ = 2(m + 1) và x₁x₂ = 3

Khi đó ta có |x₁ – x₂| ≤ 2

⇔ (x₁ + x₂)² – 4x₁x₂ ≤ 4

⇔ 4(m + 1)² – 12 ≤ 4

⇔ (m + 1)² ≤ 4

⇔ -3 ≤  m ≤ 1 (**)

Từ (*)(**) ta có 

Vậy với  thì hàm số đã cho có 2 cực trị thỏa mãn |x₁ – x₂| ≤ 2

Bài 5: Cho hàm số f(x) = x³ – (3x – 1)m (m là tham số)

Tìm m để hàm số có 2 cực trị

Giải:

Ta có f’(x) = 3x² – 3m

Để hàm số có 2 cực trị thì f’(x) = 0 ⇔ 3x² – 3m = 0 có 2 nghiệm phân biệt

Ta có ∆’ = 9m > 0 ⇔ m > 0

Vậy với m > 0 hàm số có 2 cực trị