Các dạng bài tập tìm cực trị của hàm số bậc 3 thường gặp

Trong những bài toán về cực trị nằm ở câu hỏi phụ của câu hỏi khảo sát hàm số hết sức đa dạng và thì các bài toán cực trị của hàm số bậc 3 là 1 trong những dạng toán phổ biến nhất. Sau đây chúng ta cùng nghiên cứu về các bài toán cực trị của hàm số bậc 3

1/ Các dạng bài toán về cực trị của hàm số bâc 3

Bài toán tổng quát: Cho hàm số bậc 3 có dạng y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (với a ≠ 0, a, b, c, d phụ thuộc vào tham số). Hãy tìm giá trị của tham số để hàm số y có cực đại hoặc cực tiểu (nói cách khác là cực trị) thỏa mãn điều kiện bài toán cho trước.

Phương pháp giải bài toán cực trị của hàm số bậc 3:

Bước 1:

Tính đạo hàm của hàm số y’ = 3ax2 + 2bx + c,

Cho y’ = 0  ⇔ 3ax2 +2bx + c = 0 (1)

Để hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu  ⇔ y’ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt  ⇔ (1) phải có hai nghiệm phân biệt

Ta có a ≠ 0 và ∆ (∆’) ≠ 0 ⇔ Giá trị tham số cần tìm thuộc 1 miền D nào đó (*)

Bước 2:

Từ điều kiện bài toán cho trước ta có 1 phương trình hoặc 1 bất phương trình theo tham số cần tìm

Giải phương trình này ta sẽ tìm được tham số rồi sau đó đối chiếu với điều kiện (*) của tham số và kết luận.

Một số điều kiện của bài toán thường gặp:

– Để hàm số y = f(x) đã cho có 2 cực trị <=> a ≠ 0 và ∆y’ (∆’) > 0

– Để hàm số y = f(x) đã cho có 2 cực trị nằm về hai phía đối nhau của trục hoành <=> yCD.yCT < 0

– Để hàm số y = f(x) đã cho có 2 cực trị nằm về hai phía đối nhau của trục tung <=> xCD.xCT < 0

– Để hàm số y = f(x) đã cho có 2 cực trị cùng nằm phía trên của trục hoành <=> 

– Để hàm số  y = f(x) đã cho có 2 cực trị cùng nằm phía dưới của trục hoành <=> 

– Để hàm số  y = f(x) đã cho có cực trị nằm tiếp xúc với trục hoành <=> yCD.yCT = 0

– Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khác nằm phía đối với đường thẳng d có dạng: Ax + By + C = 0

Gọi M1 (x1 ; y1) và M2 (x2 ; y2) là điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số y = f(x)

Ta có t1 và t2 là giá trị của các điểm cực trị M1, M2 khi ta thay vào đường thẳng d.

t1 = Ax1 + By1 + C

t2 = Ax2 + By2 + C

Nếu đồ thì có 2 điểm cực trị nằm 2 phía đường thẳng d thì ta có phương trình  có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

Nếu đồ thì có 2 điểm cực trị nằm cùng 1 phía đường thẳng d thì ta có phương trình  có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

Chú ý: Khi ta thay đường thẳng d bằng trục của Ox hoặc Oy hay 1 đường tròn thì ta vẫn áp dụng được kết quả trên . Các kết quả khác của nó thì tùy theo từng điều kiện để có thể áp dụng.

2 / Bài tập ví dụ

Bài 1: cho hàm số y = x3 – 2(m + 1)x2 + (m2 – 3m + 2)x + 4. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và 2 cực trị này nằm về hai phía của trục tung.

Giải:

Tập xác định R

Ta có y’ = 3x2 – 2(m + 1)x + (m2 – 3m + 2)

Để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục tung thì phương trình y’ = 0 phải có 1 nghiệm phân biệt

Bài 2: Cho hàm số y = (m +  2)x3 + 3x2  + mx -5 với m là tham số. Tìm giá trị của m để các cực trị có hoành độ là số dương.

Giải:

Tập xác đinh R

Để các cực trị của hàm số có hoành đồ là số dương thì phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

Ta có y’ = 3(m + 2)x2 + 6x + m

Vậy với -3 < m< -2 thì hàm số đã cho có điểm cực trị có hoành độ là dương

Bài 3: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 + 3(m2 – 1)x – 3m2 – 1 (m là tham số thực). Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu này cách đều gốc tọa độ O.

Giải:

Ta có đạo hàm y’ = – 3x2 + 6x + 3(m2 – 1),

y’ = 0 ⇔ – 3x2 +6x + 3(m2 – 1) = 0 (1)

Để hàm số có cực trị ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔Δ’= m2 > 0 ⇔ m ≠ 0

Khi đó ta có tọa độ hai điểm cực trị là A(1 – m, – 2 – m2) và B(1+m ; -2 + 2m2)

Theo giả thiết đề bài 2 điểm cực trị này cách đều gốc tọa độ ta có

⇔ OA = OB

⇔ (1 – m)2 + (-2 – 2m2)2 = (1+ m)2 + (2 – 2m2)2

⇔4m3 = m

⇔ m = ± ½

Vậy với m = ± ½ thì hàm số có cực đại và cực tiểu thỏa mãn hai điểm này cách đều gốc tọa độ O.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *