Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, đến một đường thẳng.

Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, đến một đường thẳng.

1. Định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, đến một đường thẳng.

Khoảng cách từ 1 điểm M đến một mặt phẳng (P) (hoặc đến đường thẳng ∆) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P) (h.a), kí hiệu là d(M, (P)) (hoặc trên đường thẳng ∆, kí hiệu là d(M, ∆) (h.b)).

2. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, đến một đường thẳng.

• Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm M₀ và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu của điểm M₀ lên mặt phẳng (P).

Khoảng cách từ điểm M₀ tới mặt phẳng (P):

d(M₀,(P)) = M₀H

• Công thức tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song:

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

• Công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng

Trong mặt phẳng (Oxy), Cho điểm M₀(x_0,y₀ ) và đường thẳng (d) có phương trình:

Ax + By + C = 0

• Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian

Trong không gian (Oxyz), Cho điểm M₀(x_0,y_0,z₀ ) và mặt phẳng (a) có phương trình:

Ax + By + Cz + D = 0

Ví dụ 1:

Cho điểm A(-2,1,3) và mặt phẳng (P) : 3x – 4z + 3 = 0. Tính khoảng cách từ A tới (P).

Bài giải:

Khoảng cách từ A tới (P) là

Ví dụ 2: Cho hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là:

3x-y+2z-6 = 0 và 6x-2y+4z+4 = 0

1. a) CMR hai mặt phẳng này song song với nhau.
2. b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng này.
3. c) Tìm tập hợp điểm cách đều hai mặt phẳng này

Bài giải

a) Ta có:

Bài tập vận dụng:

Bài 1:

Cho tứ diện OABC có 3 cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc, OA = a, OB = b, OB = c. Tính độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ O.

Bài 2:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Trên cách cạnh AA’, BC, C’D’ lần lượt lấy các điểm M,N,P sao cho AM = CN = D’P = t với 0<t<a.

1. a) CMR mp(MNP) // mp(ACD’).
2. b) Tính khoảng cách giữa 2 mp này.

Trên đây là các công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, đến một đường thẳng. Các em cùng tham khảo nhé.

Chúc các em học tốt!