Lý thuyết đại cương về tích phân và các tính chất cơ bản

0
24

Tích phân là một chuyên đề rất quan trong trong chương trình toán lớp 12 và là dạng bài tập không thể thiếu trong các kỳ thì. Bài viết này giúp các bạn ôn lại những lý thuyết quan trong của chuyên đề tích phân.

1/ Định nghĩa tích phân

a/ Định nghĩa tích phân là gì

Cho f(x) là 1 hàm số liên tục trên đoạn [a; b] ta giả sử F(x) là 1 nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn  [a; b]. Khi đó ta có hiệu F(b)−F(a) gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x) này.

Tích phân của f(x) từ a đến b ký hiệu là: 

Ta có:  (F(x) là 1 nguyên hàm của f(x))

Ta có ký hiệu  là chỉ hiệu F(b)−F(a).

Vậy : 

b/ Ví dụ:

Cho F(x) = x2 là 1 nguyên hàm của hàm số có dạng f(x) = 2x trên đoạn [1;2] vậy tích phân từ 1 đến 2 của hàm số f(x) là: F(2) − F(1) = 22 − 12 = 3.

Ta có: 

Chú ý: Ta có nếu F(x) là 1 nguyên hàm của hàm số f(x) trên [a; b] thì ta có F(x)+C (với C là 1t số thuộc R) cũng là 1 nguyên hàm của hàm số f(x) trên [a; b]. Vậy ta có thể sử dụng F(x)+C để tính tích phân từ a đến b của hàm số f(x) thì có gì khác so với sử dụng F(x) hay không? Câu trả lời là không vì:

(F(b) + C) − (F(a) + C) = F(b) + C − F(a) − C = F(b) − F(a)

Vì vậy khi tính tích phân của hàm số f(x) ta có thể sử dụng nguyên hàm của hàm số là F(x) hay F(x)+C tùy ý. Tuy vậy để tránh phức tạp chỉ thì ta nên sử dụng F(x) (trừ 1 số trường hợp đặc biệt).

Một số quy ước tích phân cơ bản

2/ Tính chất của tích phân

a/ Tính chất 1:

cho k là 1 hằng số ta có:

Nghĩa là có thể đưa hằng số k này ra ngoài dấu của tích phân.

Ví dụ :  

b/ Tính chất 2:

Tách tích phân từ a đến b của 1 tổng hay 1 hiệu thành tổng hoặc hiệu của 2 tích phân đó.

Ví dụ:

c/ Tính chất 3:

Cho 1 số c nằm giữa a và b ta có thể tách tích phân từ a đến b thành tổng của 2 tích phân từ a đến c và tích phân từ c đến b.

Tính chất này của tích phân thường áp dụng để tính các tích phân có dạng dấu trị tuyệt đối.

Ví dụ : Tính tích phân của hàm số:  

Xét dấu của x−1 trên  [0; 2]

 

 

Trên đoạn [0; 1] thì ta có: x − 1 ≤ 0 nên | x − 1 | = 1 − x.

Trên đoạn [1; 2] thì ta có: x − 1 ≥ 0 nên | x − 1| = x − 1.

cách giải

Chú ý: Trong ví dụ trên ta có thể không cần quan tâm dấu của x − 1 mà ta chỉ cần đưa dấu trị tuyệt đối của nó ra ngoài tích phân. Ta có:

 

 

LEAVE A REPLY

Please enter your comment!
Please enter your name here