Tính chất và khảo sát hàm số logarit cơ bản

1/ Khái niệm hàm số logarit

Giả sử ta có a là 1 số dương và a ≠ 1 thì
Hàm số có dạng y=log_a x thì được gọi là hàm số lôgarit với cơ số a

2/ Tính chất hàm số logarit

Cho hàm số y = log_ax (với a > 0, a ≠ 1).

– Tập xác định của hàm số: (0; +∞).

– Đạo hàm của hàm số với mọi x ∈ (0; +∞) thì y’ = 1/ x.lna .

– Chiều biến thiên:  Với a > 1 thì ta có hàm số luôn đồng biến

Với 0 < a < 1 thì ta có hàm số luôn nghịch biến

– Tiệm cận của hàm số là trục Oy và là tiệm cận đứng.

– Đồ thị của hàm số logarit nằm hoàn toàn phía bên phải của trục tung và luôn cắt trục hoành tại điểm có tọa độ (1; 0), đi qua điểm (a;1).

Lưu ý

– Vì e > 1 nên ta có nếu a > 1 thì lna > 0

=> (log_ax)’ > 0,  với mọi x > 0;

Vậy hàm số logarit với cơ số a lớn hơn 1 thì  hàm số luôn luôn đồng biến.

Nếu 0 < a< 1thì lna < 0, thì (log_ax)’ < 0, với mọi x > 0;

hàm số logarit với cơ số a nhỏ hơn 1 thì hàm số luôn luôn nghịch biến.

Công thức đạo hàm của hàm số logarit cơ bản

(ln|x|)’  = 1/ x , với mọi x ≠ 0

(log_a|x|)’ = 1/ x.lna, với mọi x ≠ 0.

(log_a u)’ = u’/ u.lna

(log_a|u|)’ = u’/ u.lna

3/ Khảo sát hàm số logarit

Cho hàm số y = log_ax

a/ Trường hợp a > 1

Tập xác đinh (0 ; + ∞)

y’ = 1/ x.lna > 0 với mọi x > 0

Giới hạn của hàm số logarit

Bảng biến thiên của hàm số logarit

Đồ thị của hàm số logarit luôn đi qua điểm có tọa độ (1 ; 0)

a/ Trường hợp 0 < a < 1

Tập xác đinh (0 ; + ∞ )

y’ = 1/ x.lna < 0 với mọi x > 0

Giới hạn của hàm số logarit

Bảng biến thiên của hàm số logarit

Đồ thị của hàm số logarit luôn đi qua điểm có tọa độ (1 ; 0)