Công thức tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

  1. Định nghĩa mặt cầu

Tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R (R>0) không đổi gọi là mặt cầu có tâm O và bán khính bằng R.

Mặt cầu như thế thường được kí hiệu là S(O ; R).

Cho mặt cầu tâm o bán kính r và M là một điểm bất kì trong không gian.

– Nếu OM = r thì ta nói điểm M nằm trên mặt cầu S(O;r).
– Nếu OM<r thì ta nói điểm M nằm trong mặt cầu S(O;r)
– Nếu OM > r thì ta nói điểm M nằm ngoài mặt cầu S(O;r)

2. Giao của mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu S (O;r) và mặt phẳng (P). H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (P). Khi đó OH =h là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu tới mặt phẳng (P).

Ta có trường hợp:

– Nếu h>r thì mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu;
– Nếu h=r thì mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm H. Ta có OH vuông góc với (P).
– Nếu h<r thì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính … và có tâm là điểm H.

Khi h=0 thì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo một đường tròn lớn có bán kính.

3. Giao của mặt cầu với đường thẳng, tiếp tuyến của mặt cầu.

Cho mặt cầu S (O;r) và đường thẳng

1. Trường hợpđi qua tâm O của mặt cầu thìcắt mặt cầu tại hai điểm A, B với AB =2r.

2. Trường hợpkhông đi qua tâm O của mặt cầu, ta gọi d là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng, khi đó:

– Nếu d<r, đường thẳngcắt mặt cầu tại hai điểm M, N;
– Nếu d=r, đườnggiác tiếp xúc với mặt cầu tại điểm H, H gọi là tiếp điểm và đường thẳnggọi là tiếp tuyến của mặt cầu.
– Nếu d>r, đường thẳngkhông cắt mặt cầu.

4. Mặt cầu ngoại tiếp một hình đa diện

Một mặt cầu đi qua mọi đỉnh của một hình đa diện H, và hình đa diện H gọi là nội tiếp trong mặt cầu đó.

a. Bất kì hình tứ diện nào cũng có mặt cầu ngoại tiếp.

Xét hình tứ diện ABCD. Gọi A là trục của đường tròng ngoại tiếp. Gọilà trục của đường tròn ngoại tiếpBCD và (P) là mặt trung trực của cạnh AB, thì tâm O của mặt cầu ngoại tiếp ABCD là giao điểm của và (P).

b. Hình chóp S.A1A2…An có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi đáy A1A2…An có đường tròn ngoại tiếp. Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là giao điểm trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác A1A2…An và mặt trung trực một cạnh bên của hình chóp.

c. Hình lăng trụ A1A2…An có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi là hình lăng trụ đứng và dáy có đường tròn ngoại tiếp. Gọi I và I’ lần lượt là tâm hai đáy (tâm đường tròn ngoại tiếp), thì tâm mặt cầu ngoại tiếp của hình lăng trụ là trung điểm O của đoạn thẳng II’.

5. Mặt cầu nội tiếp hình đa diện

Nếu có một mặt cầu (S) tiếp xúc với tất cả các mặt của một hình đa diện H thì ta nói (S) là mặt cầu nội tiếp trong hình đa diện H và H gọi là hình đa diện ngoại tiếp (S)

6. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.

Bài tập áp dụng Công thức tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a. CD=2a. Cạnh bên SD vuông góc với mặt đáy và SD = a. Gọi E là trung điểm của DC. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCE.

Bài giải

Từ ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB=AD=a, CD=2a suy ra tam giác BEC vuông cân đỉnh E.

Gọi M là trung điểm BC thì M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC. Do đó, trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC là đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Khi đó //SD.

Gọi (α) là mặt phẳng trung trực của SC và I là giao điểm của (α) vàthì I là tâm mặt cầu (S) ngoại tiếp hình tròn S.BCE
Ta thấy rằng tam giác DBC vuông cân tại B và nên

Bài tập số 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp này có diện tích tính theo a là:

A. πa²                         B. 2πa²                        C. 3. πa²                     D. 4πa²

Gợi ý giải

Kẻ đường sao cho SH của hình chóp thì H là tâm của đáy ABCD.

Ta có SA=SC=a. AC = .Suy ra, AC²=SA²+SC²=2a².

Do đó, SAC vuông tại S.

Chứng minh tương tự, SBD vuông tại S.

Ta được HA=HB=HC=HD=HS=

Do vậy, mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm là H và bán kính R=

Diện tích của mặt cầu này là S=4πR² = 4π=2πa².

Bài tập số 3. . Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cạnh SA=AB=10cm. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng:
A. 12πdm            B.  1200πdm              C.1200πdm           D. 12πdm²

Bài giải

 

 

 

Các phương pháp tính tích phân và ví dụ thường gặp

I. Tính tích phân bằng phương pháp phân tích

1/ Phương pháp tính tích phân:

Đối với phương pháp phân tích này thì việc sử dụng các đồng nhất thức để có thể biến đổi các biểu thức dưới dấu tích phân thành dạng tổng các hạng tử mà có nguyên hàm của mỗi hạng tử có thể nhận được từ bảng các nguyên hàm hoặc là bằng các phép biển đổi đơn giản mà chúng ta đã biết, sau đó ta áp dụng định nghĩa để giải bài toán này

2/ Ví dụ:

Tính các tích phân sau:

Cách giải

a/ Ta có:

= (ln2 + 1) – (ln1 + 2) = ln2 -1

b/ Ta có

= (24 – 4e) – (0 – 4) = 28 – 4e

II/ Phương pháp tính tích phân bằng đổi biến số

Để tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số ta có:

Chọn x = g(t), trong đó ta có g(t) là 1 hàm số khi đó .

Lấy vi phân của hàm số dx

Ta có biểu thị f(x)dx theo t và dt. Ta giả sử f(x)dx = g(t)dt

Ta cần tính các cận tương ứng của hàm số theo a và b

Khi đó I = ? đây chính là tích phân mà chúng ta cần tính.

Đôi khi ta có thể đặt t = v(x) thay vì đặt  x = g(t), rồi lấy vi phân 2 vế rồi tính dx theo t sau đó ta tiếp tục làm các bước còn lại như trên. Như vậy việc đặt ẩn phụ là rất đa dạng, căn cứ vào tính chất của hàm dưới dấu tích phân thì có khi nó còn phụ thuộc vào cận a và b nữa.

1/ Dạng 1:

Tính   với hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b]

a/ Phương pháp tính tích phân:

Đặt t = u(x) => d(t) = u'(x)dx (trong đó t = u(x) có đạo hàm liên tục và f(t) liên tục trên tập xác định của t)

Ta cần đổi :  

Ta chuyển đổi tích phân đã cho sang dạng tích phân có tùy biến theo t ta có:

Lưu ý:

  • Nếu tích phân có dạng f(x) có chứa (1/x ; lnx) thì ta cần đặt t = lnx
  • Nếu tích phân có dạng f(x) mà có chứa  thì ta cần đặt t = u(x)
  • Nếu hàm số f(x) có dạng mẫu số thì ta cần đặt t =  mẫu số

b/ ví dụ:

Tính tích phân của hàm số sau: 

Giải

Ta đặt t = lnx => ta có dt = dx/x

với x = e ta có t = 1 => x = e² => t=2

=> I =    = ln2

Vậy ta có I = ln2

2/ Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 2

Cho hàm số:  với hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b]

a/ Phương pháp giải:

  • Ta cần đặt x = φ(t)  và d(x) = φ(t)d(t). Trong đó ta có φ(t) là hàm số thích hợp và ảnh φ(t) nằm trong tập xác định của f(x), φ'(t) liên tục trên tập xác định đó.
  • Đổi cận của hàm số: 
  • Biến đổi tích phân I đã cho sang dạng biến t ta được:

Chú ý:

Nếu hàm số f(x) có chứa

  •  thì ta cần đặt x = |a|.sin t với t ∈ [-π/2 ; π/2] và x = |a|.cos t với t ∈ (0 ; π)
  •  thì ta cần đặt x = |a|.tan t với t ∈ [-π/2 ; π/2] và x = |a|.cot t với t ∈ (0 ; π)
  •  thì ta cần đặt x = |a| / sin t hoặc x = |a| / cos t
  •  thì ta cần đặt x = a. cos 2t
  •  thì ta cần đặt x = a + (b-a). sin²t

b/ ví dụ

Tính tích phân của hàm số sau: Giải:

Ta đặt x = sin t với t ∈ [-π/2 ; π/2] ta có => d(x) = cost.dt

Với x = 0 ta có => t = 0

Với x = 1/2 ta có => t = π/6

Khi đó:

Vậy I = π/6

III/ Tính tích phân bằng phương pháp vi phân

Cho hàm số y = f(x) được xác định trên tập D có vi phân của hàm số được ký hiệu là dy = f'(x) .dx  hay d(f(x)) = f'(x) .dx

Để giải bài toán dạng này ta cần lưu ý các công thức sau:

  • d(ax + b) = a.dx ⇔ dx = d(ax + b) / a (với a ≠ 0)
  • d(sinx) = cosx.dx ⇔ dx = d(sinx) / cosx  và d(cosx) = – sinx.dx ⇔ dx = d(cosx) / – sinx

IV/ Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần

1/ Cách giải:

Ta có công thức của tích phân từng phần

hoặc:

Đặt Ta thay vào công thức tính tích phân từng phần trên có:

Chú ý:

  • Đặt u = f(x) và dv = g(x). dx hoặc ngược lại sao cho ta có thể dễ dàng tìm nguyên hàm của v(x) và vi phân của d(u) = u'(x). dx mà không quá phức tạp
  • Ta cần phải tính được tích phân:

  • Trường hợp đặc biệt

a/ Nếu tích phân có dạng:   Ta đặt u = P(x) với P(x) là đa thức

b/ Nếu cần tính tích phân có dạng:Ta cần đặt u = ln x

c/ Nếu cần tính tích phân có dạng:

Thì ta phải tính tích phân từng phần 2 lần và đặt u = 

2/ Ví dụ:

Tính tích phân sau:  

Giải:

Đặt t = – x³ ⇒ dt = -3x²dx

V/ Phương pháp tính tích phân sử dụng tính chẵn lẻ và tính liên tục của hàm số

  • Nếu hàm số f(x) lẻ và liên tục trên đoạn [-a ; a] với a > 0 ta có:

  • Nếu hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [-a ; a] với a > 0 ta có:

  • Nếu hàm số f(x) chẵn và liên tục trên R ta có:

với a ∈ R+ và a > 0

  • Nếu f(x) liên tục trên [a ; b] thoả mãn f(x) = f( a +b – x) thì ta có:

Trên đây là tổng hợp các phương pháp tính tích phân. Hi vọng bài viết mang lại cho các bạn những kiến thức bổ ích

Khái niệm cực trị hàm số và các định lý về cực trị của hàm số

Bài viết chúng ta sẽ cùng tìm hiểu 1 số dạng bài tập có liên quan đến cực trị của hàm số cơ bản. Các dạng bài tập này chủ yếu giúp chúng ta tìm tham số của m để hàm số đã cho có cực trị và thảo mãn 1 yêu cầu nào đó của bài toán. Chúng ta thường gặp 1 số dạng sau và trước hết chúng ta cùng ôn lại một số lý thuyết nhé

1/ Khái niệm cực trị hàm số:

Cho hàm số f(x) xác định trên tập hợp D (D⊂R), x∈ D

a) Gọi x0 là 1 điểm cực đại của hàm số f(x) nếu như tồn tại 1 khoảng (a;b) có chứa điểm x0 sao cho (a;b) ⊂ D và ta có f(x) < f( x0) với mọi x ∈ (a;b) ∖ {x0}. Khi đó ta có f(x0) gọi là giá trị cực đại của hàm số f(x) này.

b) Gọi x0 là 1 điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại 1 khoảng (a;b) có chứa điểm x0 này sao cho (a;b) ⊂ D và ta có f(x) > f(x0) với mọi điểm x ∈ (a;b) ∖ {x0}. Khi đó f(x0) gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f(x).

Vậy giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số được gọi chung là cực trị của hàm số

Nếu x0 là 1 điểm cực trị của hàm số f(x) thì hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm là x0.

Như vậy điểm cực trị của hàm số phải là 1 điểm nằm trong tập hợp D (D⊂R)

2/  Điều kiện cần để 1 hàm số đạt cực trị:

Định lý 1: Giả sử hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm x0. Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x0  thì ta có f′(x0) = 0

Lưu ý:

Đạo hàm f’(x) có thể có giá trị bằng 0 tại điểm x0 nhưng f(x) sẽ không đạt cực trị tại điểm x0.

Hàm số f(x) có thể đạt cực trị tại 1 điểm mà tại điểm đó hàm số f(x)  không có đạo hàm.

Hàm số f(x) chỉ có thể đạt cực trị tại 1 điểm mà tại điểm đó đạo hàm của hàm số f(x) bằng 0, hoặc là tại điểm đó hàm số f(x)  không có đạo hàm.

3/ Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

a/ Định lý 2:

Giả sử 1 hàm số f(x) liên tục trên (a;b) có chứa điểm x0 và có đạo hàm trên (a;x0) và (x0;b). Khi đó ta có

  • Nếu  hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm x0. Hay nói cách khác nếu f′(x) đổi dấu âm sang dương khi x qua x0 thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm x0.

  • Nếu hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm x0. Hay nói cách khác nếu f′(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x0 thì hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm x0.

b/ Định lý 3

Giả sử ta có hàm số f(x) có đạo hàm cấp 1 trên (a,b) có chứa điểm x0 thì f′(x0) = 0 và f(x) sẽ có đạo hàm cấp 2 # 0 tại điểm x0 này.

a) Nếu ta có f′′(x0) < 0 thì hàm số f(x) sẽ đạt cực đại tại điểm x0.

b) Nếu ta có f′′(x0) > 0 thì hàm số f(x) sẽ đạt cực tiểu tại điểm x0.

4/  Quy tắc tìm cực trị của hàm số

a/ Quy tắc 1: áp dụng định lý 2 về cực trị của hàm số

Tìm đạo hàm f′(x)

Tìm điểm xi (với i=1,2,3…) mà tại đó đạo hàm f′(x) bằng 0 hay hàm số f(x) liên tục nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.

Xét dấu f′(x) Nếu đạo hàm f′(x) đổi dấu khi x qua điểm x0 thì hàm số f(x) có cực trị tại điểm x0 này.

b/ Quy tắc 2: áp dụng định lý 3 về cực trị của hàm số

Tìm đạo hàm f′(x)

Tìm các điểm là nghiệm xi( với i=1,2,3…) của đạo hàm f′(x)=0

Với mỗi điểm xi ta tính f′′(xi).

Nếu f′′(xi)<0 thì ta có hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm xi.

Nếu f′′(xi)>0 thì ta có hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm xi.

Ví dụ:

Tìm cực trị của hàm số f(x− cos− cos2x

Giải:

Ta có hàm số f(x) liên tục và xác định trên R

Khi đó ta có f(x2sinsin22sin(2cosx)

f′(x) = 2sin⁡x + 2sin⁡2x = 2sin⁡x (1+2cos⁡x)

Nếu  f(x⇔ sinx=0 và cos=−½ ⇔ kπ và ±2π / k2π (với kZ)

f′′(x2cos4cos2x

        f″(x) = 2cos⁡x + 4cos⁡2x

f′′(±2π / k2π0

Hàm số đạt giá trị cực đại tại x±2π / k2π

f(±2π / 3+k2π9 / 

f′′(kπ2coskπ 

Hàm số đạt cực giá trị tiểu tại x=kπ

khi đó f(kπ2(− coskπ)

Lý thuyết chung về sự đồng biến và nghịch biến của hầm số

Xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số y = f(x) trên 1 khoảng nhất định thực chất là chúng ta xét dấu của đạo hàm y’ trên khoảng đó.

I/ Khái niệm sự đồng biến nghịch biến của hàm số

Ta kí hiệu K là 1 khoảng hay 1 nửa khoảng hoặc 1 đoạn

a) Một hàm số f(x) gọi là đồng biến trên K nếu như với mọi cặp x1, x2 ∈ K mà x1 < x2 thì f(x1) < f(x2)

b) Một hàm số f(x) gọi là nghịch biến trên K nếu như với mọi cặp x1, x2 ∈ K mà x1 < x2 thì f(x1) > f(x2)

Một hàm số f(x) đồng biến ( hay nghịch biến ) trên K còn được gọi là tăng ( giảm ) trên K. Hàm số f(x) đồng biến hay nghịch biến trên K còn được gọi chung là hàm số f(x) đơn điệu trên K

II/ Định lý

1/ Định lý sự đồng biến nghịch biến của hàm số

Giả sử 1 hàm số f(x)  có đạo hàm trên khoảng K

a) Nếu đạo hàm f′(x) > 0 với mọi x ∈ K thì ta có hàm số f(x) luôn đồng biến trên khoảng K

b) Nếu đạo hàm f′(x) < 0 với mọi x ∈ K thì ta có hàm số f(x) luôn nghịch biến trên khoảng K

c) Nếu đạo hàm f′(x) = 0 với mọi x ∈ K thì ta có hàm số f(x) luôn không đổi trên khoảng K

Chú ý:

Trong khoảng K ở trong định lý trên ta có thể được thay bằng 1 đoạn hoặc 1 nửa khoảng khi đó ta phải bổ sung giả thiết hàm số f(x) liên tục trên đoạn nửa khoảng đó

Ví dụ : Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và có đạo hàm f′(x) > 0 trên (a;b) thì hàm số f(x) luôn đồng biến trên đoạn [a;b].

Người ta có thể diễn đạt điều này qua bảng biến thiên:

Việc chúng ta tìm sự đồng biến nghịch biến của hàm số còn được gọi là xét chiều biến thiên của 1 hàm số.

Qua định lý trên ta thấy việc xét chiều biến thiên của 1 hàm số có đạo hàm ta có thể chuyển về việc xét dấu đạo hàm của hàm số đó.

2/ Định lý về dấu tam thức bậc 2

Cho hàm số f(x) = ax2 + bx + c với a ≠ 0 có ∆ = b2 – 4ac ta có

  • Nếu ∆ < 0 thì ta có f(x) cùng dấu với a với mọi x ∈ R
  • Nếu ∆ = 0 thì ta có f(x) cùng dấu với a với mọi x ≠ -b/2a
  • Nếu ∆ > 0 thì ta có f(x) = 0 có hai nghiệm là x1, x2 với x1 < x2 ta có

Chú ý: Cho hàm số f(x) = ax2 + bx + c với a # 0 thì ta có

f(x) ≥ 0 với mọi x khi và chỉ khi a > 0 và ∆ ≤ 0

f(x) ≤ 0 với mọi x khi và chỉ khi a < 0 và ∆ ≤ 0

III/ Phương pháp xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số

– Bước 1: Ta tìm tập xác định của hàm số và tính f'(x)

– Bước 2: Tìm các điểm mà tại đó ta có f'(x)= 0 hay f'(x) không xác định

– Bước 3: Sắp xếp các điểm này theo thứ tự tăng dần rồi lập bảng biến thiên

– Bước 4: Kết luận về sự đồng biến nghịch biến của hàm số theo định lý

Ví dụ: xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số y = (1 / 3)x³ – 3x² + 8x – 2

ta có tập xác đinh D = R

y’ = x² – 6x + 8  với y’ = 0 thì x = 2 và x = 4

Ta có bảng xét dấu

Vậy ta có hàm số đồng biến trên (-∞ ; 2) và (4 ; ∞) nghịch biến trên (2 ; 4)

 

 

Phương pháp tìm cực trị của hàm số thường gặp

Tìm cực trị của hàm số là 1 dạng bài tập rất quan trọng và thường xuyên gặp trong các đề thi ĐH – THPT QG môn Toán nhất là vào những năm gần đây. Bài viết hôm nay sẽ giúp các bạn có thể hình dung được các bước tìm cực trị của hàm số 1 cách tổng quát và dễ nhớ nhất để các bạn có thể áp dụng.

1/ Phương pháp tìm cực trị của hàm số

Kiến thức cần nhớ để tìm cực trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) ta có:

  1. Hàm số y = f(x) có điểm cực trị <=> ta có đạo hàm y’ đổi dấu
  2. Hàm số y = f(x) không có điểm cực trị <=> ta có đạo hàm y’ không đổi dấu
  3. Hàm số y = f(x) chỉ có 1 điểm cực trị  <=> ta có đạo hàm y’ đổi dấu 1 lần
  4. Hàm số y = f(x) chỉ có 2 điểm cực trị <=> ta có đạo hàm y’ đổi dấu 2 lần
  5. Hàm số y = f(x)  có 3 điểm cực trị <=> ta có đạo hàm y ‘ đổi dấu 3 lần
  6. Hàm số y = f(x)  đạt giá trị cực đại tại điểm x0 nếu:
  7. Hàm số y = f(x)  đạt giá trị cực tiểu tại điểm x0 nếu:
  8. Hàm số y = f(x)  có đạo hàm và đạt cực trị tại điểm x0 nếu f’(x0) = 0
  9. Hàm số y = f(x)  có đạo hàm và đạt giá trị cực trị bằng c tại điểm x0 nếu

Chú ý: Đối với 1 hàm số bất kỳ thì hàm số chỉ đạt cực trị tại điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bị triệt tiêu hoặc đạo hàm của hàm số không xác định.

2/ Tìm cực trị của hàm số bậc 4 trùng phương

Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c

Ta có y’ = 4ax3 + 2bx

Cho y’ = 0 ⇔ 4ax3 + 2bx = 0 => 2x (2ax2 + b) = 0

Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị khi phương trình trên có (2ax2 + b) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 => a.b < 0

Hàm số có 1 nghiệm khi (2ax2 + b) = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép và bằng 0

=>  

Nếu ta có đồ thị của hàm số bậc 4 trùng phương  có 3 điểm cực trị thì 3 điểm cực trị này luôn luôn tạo ra một tam giác cân có đỉnh nằm trên trục tung.

3/ Cực trị của hàm số hữu tỉ

Cho hàm số có dạng 

Ta có y’ = 

y’ = 0 ta có f(x) = ab’x2 + 2ac’x + bc’– cb’ = 0 (b’x + c’ ≠ 0)

Hàm số có điểm cực đại, cực tiểu ó y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt khi đó ta có

ab’ ≠ 0 và ∆f > 0

Khi f(x) = 0 có 2 nghiệm thì 2 nghiệm này thỏa mãn điều kiện b’x + c’ ≠ 0

Hàm số không có điểm cực trị khi y’= 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

Đồ thị của hàm số có 2 điểm cực trị cùng 1 phía Ox khi

ab’ ≠ 0,  ∆f > 0 và y.yct > 0 (hoặc ab’ ≠ 0,  ∆f > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt)

Đồ thị của hàm số có 2 điểm cực trị nằm 2 phía Ox khi

ab’ ≠ 0,  ∆f > 0 và y.yct < 0 (hoặc ab’ ≠ 0  và y’ = 0 vô nghiệm)

4/ Bài tập

Bài 1: Cho hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + m (1) với m là tham số

Tìm m để cho đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị là A,B,C sao cho OA = BC lấy O là gốc tọa độ A là điểm cực trị nằm trên trục tung, B và C là 2 điểm cực trị còn lại.

Giải:

Ta có y’ = 4x3 – 4(m + 1)x

Cho y’ = 0 ó 4x3 – 4(m + 1)x = 0

x = 0 và x2 = m+1

hàm số có 3 điểm cực trị khi 4x3 – 4(m + 1)x = 0 có 3 nghiệm

m + 1 > 0 ⇔ m > -1

Khi m > -1 thì y’= 0 thì x = 0 và x = 

Ta có A (0 ; m) 

Theo giả thuyết ta có OA = BC => m2 = 4m + 1 => m = 

Vậy với m =  hàm số có 3 điểm cực trị

Bài 2: cho hàm số y = x4 -2m2x2 + 1. Tìm m để đồ thị của hàm số có 3 điểm cực trị A, B, C tạo thành tam giác có diện tích là 32

Giải:

Ta có y’ = 4x3 – 4m2x

Với y’ = 0 ta có x = 0 và x2 = m2

Để hàm số có 3 điểm cực trị thì m ≠ 0

ta có tọa độ của 3 điểm cực trị là

A (0 ; 1) , B (-m ; 1 – m4) và C (m ; 1 – m4)

Ta cần chứng minh tam giác ABC cân tại đỉnh A

tọa độ trung điểm I của cạnh BC là (0 ; 1 – m4)

Ta có SABC = ½ AI.BC = m4 . |m| = |m|5 = 32

m = ± 2

Vậy với m = ± 2 thì hàm số đã cho có 3 cực trị tạo thành tam giác có diện tích là 32