Dưới đây là một số dạng toán chuyên đề về cực trị của hàm số mà chúng ta thường gặp trong các đề thì. Giúp bạn làm quen với cách giải nhanh chóng và chính xác.
1/ Dạng 1: Chuyên đề cực trị của hàm số có dạng tìm m để hàm số y = f(x) đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0
Phương pháp giải: ta sử dụng điều kiện sau để giải bài toán dạng này:
- Nếu
- Nếu
Ví dụ : Tìm m để hàm số y = 1/3 x3 + (m2 – m + 2)x2 + (3m2 + 1)x + m -5 đạt giá trị cực tiểu tại x = -2.
Giải:
Ta có: y’ (x) = x² + 2(m² – m + 2)x +3m² +1
⇒y”(x) = 2x + 2(m² – m +2)
Để hàm số đạt cực tiểu tại x = -2 thì y'(-2) = 0
⇔ – m² + 4m – 3 = 0 ⇔ m = 1 và m=3
Với m = 3 ta có y(-2) = 8 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = -2
Với m = 1 ta có y(-2) = (1 / 3)x³ + 2x² + 4x – 4 xét bảng biến thiên thì ta thấy hàm số không có cực trị tại x = -2 nên m =1 không thỏa mãn yêu cầu
Vậy: với m = 3 thì hàm số đạt giá trị cực tiểu tại x = -2
2/ Dạng 2:
Dạng 2: Tìm m để hàm số y = f(x) có cực trị hoặc không có cực trị.
Đối với dạng bài toán này chúng ta thường chú ý đến hai dạng hàm số chính là:
a/ Chuyên đề cực trị của hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (với a # 0)
Hàm số y không có cực trị ó phương trình y’ = 0 là vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ó ∆ < 0 .
Hàm số có 2 điểm cực trị ó phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ó ∆ > 0
b/ Chuyên đề cực trị của hàm số bậc 4 trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (với a # 0)
Hàm số có 1 điểm cực trị ó phương trình y’ = 0 có 1 nghiệm duy nhất ó a.b > 0.
Hàm số có 3 cực trị ó phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm ó a.b < 0.
Ví dụ : Cho hàm số sau : y = f(x) = mx3 + 3mx2 – (m-1)x – 1, với m là tham số. Xác định giá trị của m sao cho hàm số không có cực trị.
Giải
Với m = 0 ta có y = x – 1 nên hàm số y = f(x) sẽ không có cực trị.
Với m # 0 ta có y’ = 3mx2 + 6mx –( m – 1)
Hàm số y = f(x) không có cực trị óphương trình y’ = 0 vô nghiệm hoặc là phương trình có nghiệm kép.
∆’ = 9m2 + 3m(m – 1) = 12m2 – 3m < 0 ó 0<=m<=1/4
Vậy với 0<=m<=1/4 thì hàm số y = f(x) không có cực trị.
3/ Dạng 3: Tìm tham số m để hàm số y = f(x) có cực trị thỏa mãn yêu cầu.
Đây là 1 dạng bài tập nâng cao chúng ta thường gặp trong các đề thi đại học và cao đẳng. Để có thể giải được dạng toán này trước tiên chúng ta cần nắm được phương pháp để giải các dạng toán bên trên đồng thời kết hợp với 1 số kiến thức khác về hình học, dãy số… để có thể giải dạng toán này
Ví dụ : Cho hàm số y = f(x) = x4 + 2m2x2 + 1 (Cm). Tìm m để hàm số y = f(x) có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của 1 tam giác vuông cân.
Giải
Trước tiên chúng ta áp dụng phương pháp giải ở dạng 2 để tìm m sao cho hàm số y = f(x) có 3 cực trị.
Ta có: y’ = 4x3 – 4m2x = 4x(x2 – m2)
Với y’ = 0 ta có y’ = 0 ó 4x(x2 – m2) = 0 ó x = 0 và x2 = m2
Để hàm số y = f(x) có 3 cực trị thì ta có phương trình y’ = 0 phải có 3 nghiệm phân biệt.
ó Phương trình x2 = m2 phải có 2 nghiệm phân biệt và khác 0 ó m # 0
Vậy với m # 0 thì hàm số c có 3 cực trị.
Ta cần tìm m để 3 cực trị này sẽ tạo thành 3 đỉnh của 1 tam giác vuông cân.
Ta có: với m # 0 thì y’ = 0
Với x = 0 => y = 1
Với x = m => y = 1 – m4
Với x = – m => y = 1- m4
Gọi 3 điểm cực trị của hàm số y = f(x) lần lượt là: A (0 ; 1) B (- m ; 1 – m4) C (m ; 1 – m4)
Theo tính chất của 1 hàm số bậc 4 trùng phương thì ta có tam giác ABC cân tại A nên để tam giác ABC vuông cân thì cạnh AB vuông góc với cạnh AC
Ta có AB.AC = 0
<=> ta có m = 0 (loại)
Với m = – 1; m = 1 ( thỏa mãn)
Vậy với m = -1 và m = 1 thì thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
Ví dụ:
Trên đây là 3 dạng toán về chuyên đề cực trị của hàm số mà chúng ta thường gặp. Trong đó có dạng 1 và 2 là các dạng toán cơ bản chúng ta cần phải nắm vững trước khi chúng ta tìm hiểu đến dạng 3.