Phân loại các dạng tích phân thường gặp và phương pháp tính tích phân

I/ Các dạng tích phân lượng giác

1/ Các dạng tích phân bậc lẻ với hàm sin.

Phương pháp giải:

Ta đặt t = cosx khi đó ta có dt = – sinx. dx, ta cần đưa tích phân ban đầu về dạng tích phân theo biến t.

Lưu ý:

Ta có sin²x = 1 – cos²x = 1 – t²

Ví dụ: Tính tích phân sau:

Lời giải:

đặt t = cosx ta có ⇒ dt = – sinx. dx

Với x = 0 ⇒ t = 1 và x = π/ 2 ⇒ t = 0 thì ta có

Vậy I = 2/15

2/ Các dạng tích phân bậc lẻ với hàm cos

Phương pháp giải:

Ta đặt t = sinx khi đó ta có dt = cosx.dx, ta cần đưa tích phân ban đầu về dạng tích phân theo biến của t.

Lưu ý:

Ta có cos²x = sin²x  = 1 – t²

Ví dụ:

Tính tích phân sau:

Lời giải:

Đặt t = sinx ta có dt = cosx. dx

Với x = 0 ta có t = 0 và với x = π/ 2 ⇒ t = 1 ta có tích phân

Vậy ta có I = 8/15

3/ Các dạng tích phân bậc chẵn với hàm sin và cos

Phương pháp giải:

Đối với các dạng tích phân này cách giải chung là chúng ta phải hạ bậc các hàm số này.

Lưu ý công thức cơ bản:

Ta có: cos²x = (1 + cos2x) / 2

sin²x = (1 – cos2x) / 2

sinx . cosx = 1/2 sin2x

Ví dụ:

Tính tích phân sau:

Lời giải:

Đặt t = tg(x / 2) ta có: dt = 1/2 tg² (x / 2) + 1. dx

⇒ dx = 2dt / (t² + 1)

Khi đó ta có:

Vậy I = ln 2

4/ Dạng tích phân liên kết

Công thức tổng quát các dạng tích phân liên kết:

• 
• 
•  với a > 0 và α > 0 hàm số f(x) chẵn và liên tục trên [ – α ; α]
• Lưu ý: với 1 số dạng ta cần đổi biến số trước khi tính tích phân từng phần

Ví dụ 1:

Tính tích phân sau: 

Lời giải:

Đặt x = π – t ta có: dx = – dt

Với x = 0 thì t = π và x = π thì t = 0 ta có:

Vậy ta có I = π

Ví dụ 2: Tính tích phân sau: 

Lời giải:

Đặt x = π / 2 – t ta có dx = – dt

Với x = 0 thì t = π / 2 và x = π / 2 thì t = 0

Ta có:

Ta lại có I + J = = π / 2

Từ biểu thức (1) và (2) ta có: I = π / 4

ví dụ 3:

Tính tích phân: 

Lời giải:

Đặt x = tgt ta có dx = (1 + tg²t). dt

Với x = 0 ta có t = 0

Với x = 1 ta có t = π / 4

Từ đó:

Đặt t = π / 4 – u ta có: dt = – du

với t = 0 thì  u = π / 4 và với t = π / 4 thì u = 0

Ta có:

Vậy I = (π / 8) ln 2

II/ Các dạng tích phân chứa giá trị tuyệt đối

1/ Dạng 1:

Tính tích phân có dạng: 

• Trước tiên ta cần lập bảng xét dấu của hàm số f(x). 
• Tiếp theo ta cần tính:

Ví dụ: tính tích phân sau:

Lời giải:

Ta có bảng xét dấu của hàm số:

Vậy I = 59 / 2

2/ Các dạng tích phân chứa dấu trị tuyệt đối dạng 2:

Tính tích phân:

Ta có 2 cách để tính tích phân dạng này

Cách 1:

Ta tách tích phân trên thành tổng hoặc hiệu các tích phân rồi áp dụng cách tính tích phân dạng 1

Cách 2:

• Lập 1 bảng xét dấu chung cho cả f(x) và g(x) trên [a ; b]
• Theo bảng xét dấu ta có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối cho 2 hàm số f(x) và g(x)

Ví dụ: Tính tích phân sau:

Lời giải:

Cách 1:

Tách tích phân đã cho thành hiệu 2 tích phân ta có:

Cách 2:

Ta có bảng xét dấu của hàm số:

 

Vậy ta có I = 0

3/ Dạng 3:

Tính các tích phân sau:

Để tính được các dạng tích phân này ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: lập bảng xét dấu của hàm số có dạng: h(x) = f(x) – g(x) trên [a ; b]

Bước 2: Xét hàm số

• h(x) > 0 ta có max f(x), g(x) = f(x) và ta có min  f(x), g(x) = g(x)
• h(x) < 0 ta có max f(x), g(x) = g(x) và ta có min  f(x), g(x) = gf(x)

Ví dụ:

Tính tích phân sau: 

Lời giải:

Đặt h(x) = – 4 – x =  + x – 4

Ta có bảng xét dấu:

Vậy I = (2 / ln 3) + (5 / 2)

III/ Các dạng tích phân của hàm vô tỉ

1/ Tính tích phân

 Cách giải:

Ta cần biến đổi mẫu số về một trong những dạng sau. Việc ta thực hiện biến đổi thành các dạng tích phân hữu tỉ

• Ta đặt t = tg u hoặc t = cotg u với u ∈ (- π / 2 ; π / 2 ) hoặc u ∈ (0 ; π)
•  đặt t = sin u hoặc t = cos u với u ∈ [- π / 2 ; π / 2 ] hoặc u ∈ (0 ; π)
•  đặt t = 1 / cos u hoặc t = 1 / sin u với u ∈ (- π / 2 ; π – {π / 2}) hoặc u ∈ [- π / 2 ; π / 2 ] – {0}

Ta cần chú ý các công thức:

với C là hằng số

Ta cần chứng minh:

Vậy ta có:

Từ đó ta có  trong đó u = u(x)

2/ Tích phân có dạng

 với a.A ≠ 0

Ta cần tách tích phân trên thành 2 tích phân có chung mẫu số trong đó 1 tích phân có tử là đạo hàm của tam thức bậc 2 và 1 tích phân là hằng số có dạng

3/ Tích phân có dạng

 với α.a ≠ 0

Cách giải:

Ta cần đặt αx + β = 1 / t và chuyển các tích phân này về dạng cơ bản

4/ Tích phân có dạng

 với a ≠ 0, f(x) ≥ 2 và f(x) là đa thức

Cách giải:

Ta cần tách 

Với hàm số g(x) là 1 đa thức và bậc của g(x)+1 = bậc f(x).
Ta cần tìm các hệ số của g(x) và số γ bằng phương pháp hệ số bất định.

5/ Tích phân dạng:

tính tích phân có dạng sau:

 với m,n ∈ N* và a.c ≠ 0

Ta đặt   và đưa tích phân đã cho về dạng tích phân của hàm số hữu tỉ

6/ Tích phân dạng:

 với a.c ≠ 0

Với dạng tích phân này ta có 2 cách giải bài toán này

• Cách 1: đặt  
• Cách 2: 

Sau đó ta đưa tích phân trên về dạng tích phân đơn giản để tính

7/ Tính tích phân có dạng

cho tích phân có dạng

Để giải tích phân dạng này ta đặt t = trong đó k là bội số chung nhỏ nhất của m và n

8/ Tính tích phân có dạng

Tính các dạng tích phân sau:  trong đó p, q, r là các phân số

cách giải:

• Nếu q là nguyên ta đặt x =  trong đó s là bội số chung nhỏ nhất của r và p
• Nếu (r + 1) / p là nguyên ta đặt a +    =  trong đó s là mẫu số của phân số q
• Nếu ((r + 1) / p) + q là nguyên ta đặt  + b = trong đó s là mẫu của phân số q

Trên đây là tổng hợp các dạng tích phân thường gặp trong quá trình ôn thi và cách giải các dạng này. Hi vọng với bài viết này sẽ giúp bạn nhiều kiến thức hơn trong quá trình ôn luyện.