7 hằng đẳng thức đáng nhớ và bài tập áp dụng

7  hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 8

1)      (A + B)² = A² + 2AB + B²

2)      (A – B)² = A² – 2AB + B²

3)      A² – B² = (A – B)(A + B)

4)      (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³

5)      (A – B)³ = A³ – 3A²B + 3AB² – B³

6)      A³ + B³ = (A + B)(A² – AB + B²)

7)      A³ – B³ = (A – B)(A² + AB + B²)

Bài tập áp dụng

Dạng 1 : tính giá trị của biểu thức.

Bài 1 :tính giá trị của biểu thức : A = x² – 4x + 4 tại x = -1

Ta có : A = x² – 4x + 4 = A = x² – 2.x.2 + 2² = (x – 2)²

Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)²=(-3)²= 9

Vậy : A(-1) = 9

Dạng 2 : Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến :

B = (x – 1)² + (x + 1)(3 – x)

GIẢI.

B =(x – 1)² + (x + 1)(3 – x)

= x² – 2x + 1 – x² + 3x + 3 – x

= 4 : hằng số không phụ thuộc vào biến x.

Dạng 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

C = x² – 2x + 5

GIẢI.

Ta có : C = x² – 2x + 5 = (x² – 2x + 1) + 4 = (x – 1)² + 4

Mà : (x – 1)² ≥ 0 với mọi x.

Suy ra : (x – 1)² + 4 ≥ 4 hay C ≥ 4

Dấu “=” xảy ra khi : x – 1 = 0 hay x = 1

Nên : C_min = 4 khi x = 1

Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

D = 4x – x²

GIẢI.

Ta có : D = 4x – x² = 4 – 4 + 4x – x² = 4 – (4 + x² – 4x) = 4 – (x – 2)²

Mà : -(x – 2)² ≤ 0 với mọi x.

Suy ra : 4 – (x – 2)² ≤ 4 hay D ≤ 4

Dấu “=” xảy ra khi : x – 2 = 0 hay x = 2

Nên : D_max = 4 khi x = 2.

Dạng 5 :Chứng minh đẳng thức :   

(a + b)³ – (a – b)³ = 2b(3a² + b²)

GIẢI.

VT = (a + b)³ – (a – b)³

= (a³ + 3a²b + 3ab² + b³) – (a³ – 3a²b + 3ab² – b³)

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ – a³ + 3a²b – 3ab² + b³

= 6a²b + 2b³

= 2b(3a² + b²) ->đpcm.

Vậy : (a + b)³ – (a – b)³ = 2b(3a² + b²)

Dạng 6  : Chứng minh bất đẳng thức :   

Bài tập áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ nâng cao 

Bài 1. Cho đa thức 2x² – 5x + 3 . Viết đa thức trên dưới dạng 1 đa thức của biến y trong đó y = x + 1.

Lời Giải

Theo đề bài ta có:  y = x + 1 => x = y – 1.

A = 2x² – 5x + 3

= 2(y – 1)² – 5(y – 1) + 3 = 2(y² – 2y + 1) – 5y + 5 + 3 = 2y² – 9y + 10

Bài 2. Tính nhanh kết quả các biểu thức sau:

a) 127² + 146.127 + 73²

b) 9⁸ .2⁸ – (18⁴ – 1)(18⁴ + 1)

c) 100² – 99² + 98² – 97² + …+ 2² – 1²

d) (20² + 18² + 16² +…+ 4² + 2²) – ( 19² + 17² + 15² +…+ 3² + 1²)

Lời Giải

a) A = 127² + 146.127 + 73² = 127² + 2.73.127 + 73²  = (127 + 73)² = 200² = 40000 .

b) B = 9⁸ .2⁸ – (18⁴ – 1)(18⁴ + 1) = 18⁸  – (18⁸  – 1) = 1

c) C = 100² – 99² + 98² – 97² + …+ 2² – 1²

= (100 + 99)(100 – 99) + (98 + 97)(98 – 97) +…+ (2 + 1)(2 – 1)

= 100 + 99 + 98 + 97 +…+  2 + 1 = 5050.

d) D = (20² + 18² + 16² +…+ 4² + 2²) – ( 19² + 17² + 15² +…+ 3² + 1²)

= (20² – 19²) + (18² – 17²) + (16² – 15²)+ …+ (4² – 3²) + (2² – 1²)

= (20 + 19)(20 – 19) + (18 + 17)(18 – 17) + ( 16 +15)(16 – 15)+ …+ (4 + 3)(4 – 3) + (2 + 1)(2 – 1)

= 20 + 19 + 18 + 17 + 16 +15 + …+ 4 + 3 + 2 + 1 = 210

Bài 3. So sánh hai số sau, số nào lớn hơn?

a) A = (2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1) và B = 2³²

b) A = 1989.1991 và B = 1990²

Lời Giải

a) Ta nhân 2 vế của A với 2 – 1, ta được:

A = (2 – 1)(2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)

Ta áp dụng đẳng thức ( a- b)(a + b) = a² – b² nhiều lần, ta được:

A = 2³² – 1.

=> Vậy A < B.

b) Ta đặt 1990 = x => B = x²

Vậy A = (x – 1)(x + 1) = x² – 1

=> B > A là 1.

Bài 4. Chứng minh rằng:

a) a(a – 6) + 10 > 0.

b) (x – 3)(x – 5) + 4 > 0.

c) a² + a + 1 > 0.

Lời Giải

a) VT = a² – 6a + 10 = (a – 3)² + 1 ≥ 1

=> VT > 0

b) VT = x² – 8x + 19 = (x – 4)² + 3 ≥ 3

=> VT > 0

c) a² + a + 1 = a² + 2.a.½ + ¼ + ¾ = (a + ½ )² + ¾ ≥ ¾ >0.

Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a) A = x² – 4x + 1

b) B = 4x² + 4x + 11

c) C = 3x² – 6x – 1

Lời Giải

a) Ta sẽ biến đổi A= x² – 4x + 1 = x² – 4x + 4 – 3 = ( x- 2)² – 3

Do ( x- 2)² > 0 nên => ( x- 2)² – 3 ≥ -3

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(A_{min) = -3  khi và chỉ khi x = 2.}

b) B = 4x² + 4x + 11 = (2x + 1)² + 10

Vậy B_min  = 10 khi và chỉ khi x = -½.

c) C = 3x² – 6x – 1 = 3(x – 1)² – 4

Vậy C_min  = -4 khi và chỉ khi x = 1.

Bài 6. Cho a + b + c = 2p. Chứng minh rằng: 2bc + b² + c² – a² = 4p(p – a)

Lời Giải

Ta sẽ đi biến đổi VP.

VP = 2p(2p – 2a) = (a + b + c)( a + b – c) = ( b + c )² – a² = b² + 2bc + c² – a² = VT (đccm)

Bài 7. Hiệu các bình phương của 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp bằng 36. Tìm hai số ấy.

Lời Giải

Gọi 2 số chẵn liên tiếp là x và x + 2 (x chẵn). Ta có:

(x + 2)² – x² = 36

<=> x² + 4x + 4 – x² = 36

<=> 4x = 32

<=> x = 8

=> số thứ 2 là 8+2 = 10

Đáp số: 8 và 10

Bài 8. Tìm 3 số tự nhiên liên tiếp biết rằng tổng các tích của từng cặp 2 số trong 3 số ấy bằng 74

Lời Giải

Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là: x – 1, x, x + 1 ( đk: x>0)

Vậy ta có:  x(x – 1) + (x – 1)(x + 1) + x(x + 1)= 74

Ta nhân vào và rút gọn đi ta có:

x² = 25 <=> x = -5 , x = 5

So sánh với Đk: x>o => x = 5 (t/m).

Vậy đáp số: 4, 5, 6.

Thông qua lý thuyết của 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và bài tập áp dụng hy vọng bạn sẽ nắm vững kiến thức môn toán lớp 8. Chúc các bạn học tốt